夾擠定理

假設你在人群裡找不到某個人，但你知道他正和兩位朋友手挽手地走著，而那兩位朋友都正朝著同一個出口匯聚。那麼夾在中間的這個人別無選擇——他也必定朝那個出口走去。夾擠定理把這種直覺變成了一件工具：如果一個函數被夾在另外兩個都趨向同一極限的函數之間，那麼被夾住的函數也必須趨向那裡。

正式地說：如果在 a 附近所有的 x 處都有 g(x) <= f(x) <= h(x)（不必在 a 這一點本身成立），並且 lim x->a g(x) = lim x->a h(x) = L，那麼也有 lim x->a f(x) = L。兩條邊界必須夾向同一個值 L；如果下界和上界趨向不同的數，這個定理就什麼也說不了。對於那些振盪得太劇烈、無法直接處理的函數，它格外有用。

經典的成果是 lim x->0 sin(x)/x = 1，這個結果你沒法靠直接代入得到（那會給出 0/0），但只要把 sin(x)/x 夾在 cos(x) 和 1 之間，它就自然浮現了。另一個常被引用的例子是 lim x->0 x^2 sin(1/x) = 0：正弦因子會永遠振盪，但它被牢牢夾在 -x^2 和 x^2 之間，而這兩者都趨於 0，於是乘積被迫等於 0。這個定理讓嚴謹的界限在直接代入夠不到的地方取得勝利。