平方可積鞅（square-integrable martingale）
平方可積鞅是滿足 sup_t E[M_t^2] < infinity（等價地，在 L^2 中有界）的鞅。這是最易處理的鞅類：平方可積性正是讓可料二次變差 <M> 經由杜布-邁耶存在、讓伊藤等距成為誠實等式、並使這類鞅構成一個希爾伯特空間（隨機積分在其上作為等距映射）的那種可積性。它是舒適的中間地帶——比一般鞅或局部鞅更正則，又寬廣到足以含布朗運動與我們關心的積分。
精確地說，取 M_0 = 0 的 cadlag 鞅 M，其範數由終端值的 L^2 範數（或 sup_t E[M_t^2]^{1/2}）給出。這類鞅的集合（常記為 M^2 或 H^2）在內積 (M, N) = E[M_infinity N_infinity] = E[<M, N>_infinity] 下是希爾伯特空間；第二個等號是內積的角括號實現。平方可積性一次給出數項等價的好處：M 一致可積（因 L^2-有界蘊含 UI），故以 M_t = E[M_infinity | F_t] 閉合；M^2 - <M> 是真鞅，故 E[M_t^2] = E[<M>_t]（L^2 範數等於期望角括號）；且 M^2 分解為連續與純不連續部分的正交分解成立。兩個平方可積鞅正交，恰當 <M, N> = 0，即 MN 為鞅時。
為何這類是主力：伊藤積分最初被建構為從 L^2(d<M>) 可料被積函數到 M^2 的等距映射——E[(integral H dM)^2] = E[integral H^2 d<M>]——而後才藉局部化擴展到局部鞅與半鞅。杜布 L^2 極大不等式控制移動上確界，而 BDG 不等式在 p = 2 時化約為括號恆等式。誠實的限定：平方可積性確實強於僅幾乎必然收斂所需的 L^1-有界，也強於一致可積性（L^2 蘊含 UI 但反之不然）；而許多核心物件——被積函數僅局部 L^2 的隨機積分、逆貝索過程——只是局部平方可積，這正是需要局部平方可積類與局部化才能到達完整理論的原因。
布朗運動 B 在任意有限期間都是平方可積鞅：E[B_t^2] = t，而恆等式 E[B_t^2] = E[<B>_t] = t 是其 L^2 範數的角括號實現。對滿足 E[integral_0^t H^2 ds] < infinity 的可料 H，隨機積分 integral_0^t H_s dB_s 又是一個具相同等距性的平方可積鞅。
在 M^2 中，範數平方等於期望角括號，E[M_t^2] = E[<M>_t]——伊藤等距的基礎。
平方可積性蘊含一致可積性與可閉性，但嚴格更強；許多被積函數與過程僅局部平方可積，故完整理論在 M^2 框架之外仍需局部化。