Burkholder-Davis-Gundy 不等式（BDG inequalities）
/ Burkholder = BURK-holder; Gundy = GUN-dee /
Burkholder-Davis-Gundy（BDG）不等式指出：對鞅而言，移動最大值的大小與二次變差平方根的大小在每個 L^p 範數中可比：控制其一便控制另一，至多差一個只依賴 p 的普適常數。它們是鞅論的主動差不等式——把對二次變差 [M] 的界（往往可算，因它是平方增量的逐路徑和）轉換為對極大函數 sup |M| 的界、反之亦然的工具。它們支撐隨機積分的 L^p 理論與 SDE 解的動差估計。
陳述：對每個 p 屬於 (0, infinity)，存在只依賴 p 的普適常數 c_p, C_p > 0，使得對每個 M_0 = 0 的 cadlag 局部鞅 M 與每個停時 T，c_p E[ [M]_T^{p/2} ] <= E[ (sup_{t <= T} |M_t|)^p ] <= C_p E[ [M]_T^{p/2} ]。換言之，極大函數的 p 次動差被夾在二次變差的 (p/2) 次動差的常數倍之間。連續鞅情形可用 [M] = <M>（兩者吻合），故不等式可以角括號表述。其驚人之處在於 p 的範圍：不同於需要 p > 1 的杜布極大不等式，BDG 對所有 p > 0 成立，包含杜布不等式失效的困難小 p（與 p = 1）區——這正是 Davis 那一半，p = 1 情形即 Davis 定理。
為何重要：在隨機積分中，[integral H dM]_t = integral H^2 d[M]_t，故 BDG 立即以 integral H^2 d[M] 的 L^{p/2} 範數界定隨機積分的 L^p 範數——這是證明積分連續性、H^p 鞅空間完備性、以及 SDE 存在唯一性與動差界（在 BDG 步驟後用 Gronwall）的主力估計。誠實之處：常數 c_p, C_p 雖普適但不為 1（這是雙邊比較而非恆等式——僅在 p = 2 時，當 M^2 - [M] 為鞅，才坍縮為精確恆等式 E[M_T^2] = E([M]_T)）；最佳常數在某些區間已知（Burkholder 的工作），對大 p 約如 sqrt(p) 增長；且 BDG 需要二次變差 [M]，故它確實是關於鞅（或局部鞅）的陳述，而非任意過程。
對相對於布朗運動的隨機積分 X_t = integral_0^t H_s dB_s，有 [X]_t = integral_0^t H_s^2 ds，故 BDG 給出 E[ sup_{s <= t} |X_s|^p ] <= C_p E[ (integral_0^t H_s^2 ds)^{p/2} ]。這一個不等式正是 SDE 存在唯一性證明中 Gronwall 論證與其解動差估計的養料。
BDG 把對積分二次變差的界轉化為對整條移動最大值的界，且對每個 p > 0 皆然。
BDG 是帶普適常數的雙邊比較，而非恆等式；僅在 p = 2 時成為精確等式 E[M_T^2] = E([M]_T)，且與杜布不等式不同，它關鍵地對所有 p > 0（含 p = 1，即 Davis 情形）成立。