球面幾何（spherical geometry）

球面幾何是你每天實際走在其上的幾何：球體表面的幾何，其中最熟悉的例子就是地球。它不是為了與歐幾里得作對而發明的抽象物——早在有人稱它為「非歐」之前，水手與天文學家數百年來就需要它來導航與測繪星空。在球面上，「直線」的角色——兩點間的最短路徑、繃緊的繩或大圓航線所走的路——由大圓擔任：即所在平面通過球心的圓，如赤道或任一條經線。

一旦接受大圓為直線，規則便與平坦平面急遽分歧。沒有平行線：任兩個大圓必相交（事實上在兩個相對的點）。由三段大圓弧組成的三角形，其內角和恆大於 180 度；超過 180 的部分稱為球面角盈，且恰與三角形的面積成正比（吉拉爾定理）。一個三角形甚至可以有三個直角，和為 270 度。還有一個最大尺寸效應：直線有限（一個大圓長 2 pi R），所以你無法沿直線永遠走下去而不返回。

兩個誠實的提醒。第一，球面幾何在嚴格公理意義下技術上並非完全「正規」的幾何，因為兩個大圓相交於兩點而非一點，所以「兩點定唯一一線」對對徑點對失效；把對徑點黏在一起便修好它，得到橢圓幾何。第二，普通的緯線（赤道除外）不是直線——它們不是大圓，所以同緯度兩城之間最短的航線會朝極點彎，這正是長程航班在平面地圖上看似拱起的原因。球面幾何是正曲率的日常面貌。