橢圓幾何（elliptic geometry）
若雙曲幾何是允許「太多」平行線所得，橢圓幾何就是另一個極端——一套完全沒有平行線的幾何。過直線外一點，平行線不是一條（歐氏）也不是無窮多條（雙曲），而是零條：每一對直線都相交。黎曼（Riemann）在 1854 年推開了這第三道門。要讓它成立，須鬆動歐氏的兩項假設——直線的總長須有限（它們自我閉合），且須捨棄「一條線在每個方向各有相異端點」的假設。
要記在腦中的模型是球面，外加一個關鍵調整。在球面上「直線」是大圓（把球切成相等兩半的圓，如赤道），因為它們是最短路徑、是可得最直的路線。任兩個大圓總是相交——在兩個直徑相對的點。要得到真正的橢圓幾何（其中兩線恰交於一點，如正規幾何所要求），須把每一對對徑點認同為單一一點；結果就是實射影平面。如今任兩線恰交一次，沒有平行線，且三角形向外鼓：其內角和大於 180 度，角盈隨面積增大而增大。
橢圓幾何有它自己優雅的標誌，即點與線之間完美的對偶：任一真敘述，若把當中的「點」與「線」二字通通互換仍為真，因為在射影平面中兩點確定一線、兩線確定一點，對稱地成立。如同其他幾何，誠實的定位是：橢圓幾何並未推翻歐氏——它是第三個一致的選擇，由替換平行公設（並鬆動直線長度公理）而得，而非由在原版中找到任何瑕疵而得。
在地球儀上，兩條經線都是大圓，所以都是「直線」。它們在赤道處看似平行，卻無可避免地在南北極相交——這證明沒有平行線。一個連接北極與赤道上相距 90 度的兩點的三角形，有三個直角，和為 270 度：角盈 90 度，這在歐氏中不可能。
沒有平行線、任兩線必相交、三角形內角和超過 180 度——第三套一致的幾何，點線對偶。
球面幾何與橢圓幾何是近親卻不相同：球面上兩大圓相交兩次（在對徑點），違反「兩點定一線」。真正的橢圓幾何把對徑點黏成一個，使任兩線恰交一次。