格林函數的譜表示（spectral representation of a Green's function）
建格林函數還有第二條路，不需要鏡像或巧妙的幾何：用區域本身的自然振動模態把它組裝起來。每個帶有算子的良好定義域（鼓、弦、導熱板）都有一組駐波形狀，它的特徵函數，各以自己的頻率、自己的特徵值鳴響。譜表示把格林函數表為對所有這些模態的加權和——算子自身的共振就是它的積木。
具體地說，設特徵函數 phi_n 在邊界條件下滿足 L phi_n = lambda_n phi_n，並取為正交歸一：integral of phi_m phi_n = 1 若 m = n，否則為 0。因為它們構成完備基底，你可以把 delta 源本身展開：delta(x - y) = sum over n of phi_n(x) phi_n(y)。於是解 L G(., y) = delta 就逐項變得簡單——把每個模態除以它的特徵值——給出 G(x, y) = sum over n of phi_n(x) phi_n(y) / lambda_n。這樣讀：對位於 y 的源的回應，是按「源 y 與每個模態耦合得多強」（因子 phi_n(y)）以及「該模態多容易回應」（因子 1/lambda_n——柔軟的、低特徵值的模態主導）來激發每一個模態而得。對稱性 G(x, y) = G(y, x) 現在從公式一眼可見。這就是梅瑟／譜形式，它正是算子的預解核。
這個表示恰好在鏡像法失效之處發揮威力：它在任何你能解出特徵函數問題的定義域上都管用（矩形用傅立葉級數、圓盤用貝索函數、球面用球諧函數），並把格林函數與譜論的關聯明確化。兩個誠實的提醒。第一，若零是一個特徵值（lambda_n = 0），它就失效：分母消失意味著裸格林函數不存在，你必須對那個模態取模來處理——這就是弗雷德霍姆二擇一，也正是諾伊曼問題的相容性條件。第二，級數在均方意義下收斂，在 G 奇異的源點附近可能收斂緩慢或不均勻。
在區間 [0, pi] 上、L = -d^2/dx^2 且兩端為零，特徵函數是 sqrt(2/pi) sin(n x)、特徵值為 n^2。格林函數是 G(x, y) = (2/pi) sum over n of sin(n x) sin(n y) / n^2——而這個級數加總起來就是你也能直接得到的那個明確的三角帳篷函數。
同一個格林函數，由算子的特徵模態組裝而成。
若零是特徵值（一個 lambda_n = 0 的柔軟模態），該項會發散：普通格林函數不存在，你必須把那個模態投影掉——這就是弗雷德霍姆二擇一，也是諾伊曼相容性條件的化身。