逆算子的核（kernel of an inverse operator）
這裡有最乾淨的方式來說明格林函數到底是什麼。微分算子 L 透過微分把一個函數變成另一個函數。解 L u = f 就是把這件事逆轉——對 f 施用逆算子 L^(-1) 以還原 u。美妙的事實是：這個逆不是另一個微分算子，而是一個積分算子，而它的「矩陣元」構成一個兩變數的函數。那個函數就是格林函數：它是 L^(-1) 的積分核。
用線性代數來類比。若 L 是一個矩陣，解 L u = f 就是 u = L^(-1) f，一個求和 u_i = sum over j of (L^(-1))_ij f_j。從有限多個指標 i, j 過渡到連續的位置 x, y，求和變成積分、矩陣元 (L^(-1))_ij 變成核 G(x, y)：u(x) = integral of G(x, y) f(y) dy。對照之下，G(x, y) 恰好扮演逆矩陣元的角色，即 L^(-1) 的 (x, y) 元。這正是為什麼 L G(., y) = delta(. - y)——那個方程是 L L^(-1) = I 的連續版本，因為 delta 是連續的單位矩陣（delta(x - y) 是恆等算子的核）。互易性 G(x, y) = G(y, x) 於是就是「對稱矩陣的逆是對稱的」這一陳述。
這樣看格林函數能統一一切：解 PDE 就是化身的矩陣求逆；表示公式不過是把 u = L^(-1) f 寫開；譜表示就是把 L 對角化（特徵函數是特徵向量）並逐一特徵值地求逆；預解算子是 (L - lambda)^(-1) 的核。提醒仍舊是：逆必須存在：若 L 有非平凡的零空間（一個滿足邊界條件的齊次解，即零是特徵值），它就不可逆，也沒有普通的格林函數——你需要一個修正格林函數，只在那零空間的補空間上對 L 求逆，恰如奇異矩陣只有偽逆。
把 -u'' = f 在格點上離散化，L 就變成三對角的二階差分矩陣。它的逆是一個滿矩陣，其 (i, j) 元是一個離散帳篷函數——離散格林函數——而當格點加密，這些元收斂到連續核 G(x, y)。
格林函數＝逆算子的 (x, y) 元。
若 L 有非平凡零空間（零是特徵值）就不可逆，普通格林函數不存在——只有在那零空間之外對 L 求逆的修正格林函數，恰如奇異矩陣只有偽逆。