格林函數的互易性（reciprocity of Green's functions）

這裡有一個令人意外又有用的事實。把點源放在 A、在 B 量回應；現在對調——把同樣的源放在 B、在 A 量。互易性說你會得到相同的數。你在門口喊，窗邊的人聽到的響度，恰好等於他從窗邊喊回來你所聽到的響度。源與聽者可以互換位置而不改變聽到的結果。

數學上這就是對稱性 G(x, y) = G(y, x)：在 x 處感受到的、對位於 y 的單位源的回應，等於在 y 處感受到的、對位於 x 的單位源的回應。這不是巧合——它源自算子的自伴性（對稱性）加上邊界條件。證明是把格林第二恆等式用在 G(., y) 與 G(., z) 上：把兩者代入 integral of (u L v - v L u) 對區域積分，這等於一個邊界積分，而它因每個格林函數所滿足的邊界條件而消失，剩下的 delta 項給出 G(z, y) = G(y, z)。所以互易性正是「以 G 為核的積分算子是對稱的」這一陳述——自伴問題的指紋。

這件事既是檢驗也是工具。作為檢驗，你建出的任何候選格林函數最好是對稱的。作為工具，互易性就是彈性力學中的馬克士威-貝蒂互易、聲學中的雷利互易、電磁學中天線的互易：它讓你可以用較容易的對調情形去算困難的情形。誠實的提醒：互易性需要自伴算子與對稱邊界條件。對非自伴問題——例如帶一階漂移（對流）項的算子，或含時的因果格林函數——對稱性會被打破，代之以 G 與伴隨算子格林函數之間的一個關係。