譜方法（spectral method）

有限差分與有限元素用許多簡單的局部碎片——小帽形或短泰勒樣板——來近似解，並以使用越來越多碎片來換取精度。譜方法採取相反的哲學：把解表示為「少數」幾個極平滑、各自橫跨整個區域的全域基底函數之和——正弦與餘弦，或切比雪夫多項式——並讓這些具全域感知的函數來幹活。對光滑問題，回報是驚人的：誤差下降得比網格尺寸的任何冪次都快。

以下是它對週期問題的運作方式。把未知函數寫成截斷的傅立葉級數 u(x) = 對各波數 k 求和的 c_k e^(i k x)。在這個表示下求導變得輕而易舉——d/dx 只是把係數 c_k 乘上 (i k)，於是任意階的導數在基底上都是精確的，求導本身不帶截斷誤差。接著你以兩種方式之一施加偏微分方程：要求殘差與基底正交（伽遼金譜方法），或要求方程在一組配置點上精確成立（偽譜方法）；而快速傅立葉轉換（FFT）以 O(N log N) 的運算，在物理空間值與譜係數之間擺渡資料。精度宣稱是頭條：對「無窮光滑」（解析）的解，誤差隨模態數 N 指數衰減——所謂譜精度——遠遠勝過差分與元素方法的代數式 h^2 或 h^p。寥寥幾個模態便能匹敵數千個格點所給的結果。

問題恰恰出在魔法的來源：譜精度需要「光滑」。若解有間斷或尖銳前緣，全域的傅立葉基底無法乾淨地表示它——你會得到橫貫整個區域鈴振的吉布斯振盪，指數收斂塌縮為孱弱的一階。因此譜方法是光滑問題的首選工具（光滑流動的湍流模擬、球面上的天氣與氣候模型、光滑的波傳播），對震波則不甚相宜，除非特別濾波或與捕捉震波結合。它們也把整個區域綁在一起（稠密、全域耦合的系統，並需要簡單幾何），以有限元素法的局部性與幾何靈活性，換取在光滑、簡單幾何問題上無與倫比的精度。