特殊歐幾里得群 SE(3)

SE(3) 是三維空間中所有剛體運動的完整集合——把一個物體轉動並滑到新地方的每一種可能組合，全都匯聚成一個家族。如果說 SO(3) 是所有純粹旋轉的家族，那麼 SE(3) 就是更大的那個家族，它還允許物體移動位置：它把每一次旋轉都和一次平移配成一對。簡而言之，機器人所能做出的任何剛體變換，都是 SE(3) 裡的一個成員。

它之所以是一個「群」，理由和旋轉一樣讓人放心：先做一次剛體運動，再做一次，合起來的結果仍然只是一次剛體運動——仍然是一員（封閉性）。每次運動都能被逆轉（轉回去、滑回去，這是它的逆元），而紋絲不動也算是一員（這是單位元）。所以 SE(3) 是一個自成一體的「擺放」世界，在其中把若干運動串接起來，絕不會把你帶到任何不合法的地方。

正因如此，SE(3) 常被稱為位姿的天然家園。齊次變換矩陣——機器人之間傳遞的那個把旋轉和位置緊湊打包在一起的物件——正好就是 SE(3) 裡的一個點。當工程師說機器人的手臂「在 SE(3) 中運動」時，他們的意思不過是：它的手從一個完整的擺放（位置與朝向合在一起）平滑地走到另一個，沿途依次經過這一個大家族裡的成員。