斜布朗運動與反射布朗運動（skew and reflected Brownian motion）

對布朗運動最簡單的兩種改造，都是直接由局部時構造的，且都回答具體問題：若過程不能跌破 0（反射），以及若它在離開 0 時對偏好哪一側有偏向（斜）會如何？兩者都是強馬可夫擴散，在遠離 0 處是普通布朗運動，但在原點處有特殊行為，且都以透過田中公式與漂程理論來定義最為乾淨。

反射布朗運動是 |B_t|，或等價地是 Skorokhod 問題 dX = dW + dL（X >= 0）的解，其中 L 是 0 處的局部時，恰好把 X 往上推到足以維持非負（它僅在 X = 0 時增長）。其生成元在 (0, infinity) 上是 (1/2) d^2/dx^2，在 0 處帶諾伊曼（反射）邊界條件。由田中公式，|B_t| = beta_t + L_t^0，其中 beta 是布朗運動，所以反射布朗運動是一個布朗運動加上一個奇異連續的邊界推力。參數 p in [0,1] 的斜布朗運動在 0 之外如布朗運動，但在每段離開 0 的漂程，以機率 p 選擇向正、以機率 1 - p 選擇向負，且各漂程間獨立。它解 SDE dX = dW + (2p - 1) dL_t^0(X)，其中漂移僅透過 0 處局部時起作用；p = 1/2 回收普通布朗運動，p = 1 給出反射布朗運動，中間的 p 給出不對稱的穿越規則。其轉移密度是熱核加上一個權重為 (2p - 1) 的鏡像電荷。相關的物件 Walsh 布朗運動把漂程送往以選定角度排列的星形射線上。

重要性：反射布朗運動是重流量排隊（工作量過程）、存儲與庫存、以及具反射邊界之域中擴散的典型模型；其多維版本（Harrison-Reiman）是排隊網路的核心。斜布朗運動模擬跨越具滲透性失配之介面的擴散（熱或溶質穿越膜，或在具不連續擴散率介質中的運動）。誠實的微妙之處：斜布朗運動是其 SDE 的真正強解，只因深刻的結果（Harrison-Shepp 證明需要 |2p - 1| <= 1，且解在分布上唯一），而局部時漂移是奇異的——它「不是」古典漂移 b(x) dt，所以標準的 Lipschitz SDE 理論不適用。反射布朗運動的 L 不可微；反射是由奇異的局部時項、而非平滑力來執行的。