奇異史特姆-劉維問題（singular Sturm-Liouville problem）
/ shtoorm lyoo-VEEL /
正則問題較狂野的表親，其中一條安全假設失效——然而了不起的是，物理中幾乎所有著名的特殊函數都出自這裡。每當你在曲線座標系（圓盤、圓柱、球）中分離變數時，徑向或角向方程結果都是奇異的。
史特姆-劉維問題在以下情況稱為奇異的：區間為無限（如 0 到無限或整條實線）；或 p(x) 在某端點為零（使最高階係數退化）；或 q 或 w 在該處發散。在這樣的端點你不再能施加普通的邊界條件；取而代之的是要求有界性（解保持有限）或對權重 w 的平方可積性。這個替代條件正是用來挑選出有物理意義的解，並丟棄那些發散的解。
豐厚的回報是：奇異問題的特徵函數正是那些有名的特殊函數。圓盤上的貝索方程 -(x J')' + (n^2/x) J = lambda x J 給出貝索函數，以權重 x 正交。區間 [-1, 1] 上的勒壤得方程 -((1 - x^2) P')' = lambda P 給出勒壤得多項式。無限區間上的厄米特方程與拉蓋爾方程給出量子振子與氫原子的厄米特函數與拉蓋爾函數。譜甚至可能部分變為連續（如自由粒子），那正是離散級數圖像失效、積分轉換接手之處。
區間 [-1, 1] 上的勒壤得方程 -((1 - x^2) P')' = lambda P 是奇異的，因為 p(x) = 1 - x^2 在兩端點 x = ±1 處皆為零。那裡沒有施加邊界條件的餘地；取而代之，我們要求 P 在 x = ±1 處保持有界。只有 lambda = n(n+1) 給出有界解——即勒壤得多項式 P_n。
當 p 在端點為零時，「有界性」取代通常的邊界條件，並把 lambda 量子化。
一個常見誤解是奇異問題仍然總是擁有純離散譜。其實不必如此：在無界區間上譜可以部分或全部連續（自由薛丁格算子是典型例子），此時特徵函數展開就變成積分轉換而非級數。