層上同調（sheaf cohomology）
層上同調衡量局部資料拼不成整體資料的程度。給定空間 X 上的層 F，你總能取它的整體截面 H^0(X, F)，但「從覆蓋限制、再試著黏合」這個運算未必滿射到整體層級——可能存在在重疊處相容、卻無法來自某整體截面的局部截面，或可局部求解卻無法整體化。高階上同調群 H^1, H^2, ... 恰恰是那些阻礙：H^i(X, F) 有系統地記錄由局部過渡到整體之失敗的第 i 層。
精確地說，取整體截面是層的阿貝爾範疇上的一個左正合函子 F -> H^0(X, F) = F(X)：層的短正合序列 0 -> F' -> F -> F'' -> 0 給出整體截面的正合序列，但其右端「未必」正合（F'' 的整體截面未必能提升為 F 的整體截面）。層上同調是修復此事的導出函子。具體地，把 F 嵌入一個內射（或軟弱/flasque）分解 0 -> F -> I^0 -> I^1 -> ...，對其施以整體截面得到複形 I^0(X) -> I^1(X) -> ...，並定義 H^i(X, F) 為此複形的第 i 個上同調。最根本的產物是長正合序列：每個層的短正合序列都導出 ... -> H^i(X, F') -> H^i(X, F) -> H^i(X, F'') -> H^{i+1}(X, F') -> ...，其連接映射恰好衡量提升的阻礙。依構造，H^0 是整體截面，而當 F 軟弱或內射時 H^i = 0（i > 0）。
層上同調是概形論核心的計算與概念工具：射影簇上凝聚層的上同調有限維且可計算，消失定理（塞爾、小平）控制何時 H^i = 0，而黎曼-羅赫與塞爾對偶都是關於這些群的陳述。它也把德拉姆、多爾博與切赫上同調統一為特例。誠實的告誡。其一，上同調確實是「層」的特徵，而不只是空間的——同一 X 上不同的層有截然不同的上同調，常值層還原出普通的拓樸上同調，而線叢衡量某種幾何的東西。其二，導出函子的定義乾淨卻無法徒手計算；實務上人們透過相對於好覆蓋的切赫上同調或透過分解來算，而這些唯有在某些前提下才與導出函子上同調一致（對擬凝聚層在分離概形上切赫 = 導出，或在勒雷型條件下）。其三，在一般拓樸空間上，選內射、軟弱抑或柔軟分解，會影響哪些層是非循環的，雖然它們給出相同的 H^i。
在 k 上的 P^1 上，線叢 O(d) 當 d >= 0 時 H^0 維數為 d + 1（d 次齊次多項式），當 d < 0 時 H^0 = 0；同時當 d >= -1 時 H^1(P^1, O(d)) = 0，當 d <= -2 時其維數為 -d - 1。非零的 H^1 正是把某些局部截面整體延拓的精確阻礙——那些「缺失的整體截面」，塞爾對偶會把它與互補叢的 H^0 配對。
在 P^1 上，H^1(O(d)) 恰當 d <= -2 時非零——塞爾對偶將其與 H^0 配對的阻礙。
層上同調取決於「層」、不只是空間，且導出函子的定義無法直接計算——切赫上同調唯有在某些前提下才算出它（例如分離概形上的擬凝聚層，或勒雷覆蓋）。未經檢查切勿混為一談。