塞爾對偶（Serre duality）
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在緊可定向流形上，龐加萊對偶說第 i 度的上同調與互補度的上同調對偶。塞爾對偶是凝聚層上同調在代數幾何中的對應物：它把一個層的高度上同調，與一個互補的「扭轉對偶」層的低度上同調配對，而那扭轉由單一的典範對象——典範層——所供應。它正是把難算的高度上同調化為易算的整體截面之對稱性，也是使黎曼-羅赫可用的引擎。
精確地說，設 X 是域 k 上維數為 n 的光滑射影簇，具典範層 omega_X（餘切層的最高外冪，即最高次微分形式的層）。塞爾對偶斷言：對任意凝聚的局部自由層（向量叢）F 與每個 i，H^i(X, F) 與 H^{n-i}(X, F^對偶 tensor omega_X) 之間有一完美配對，經由杯積落入最高上同調 H^n(X, omega_X)，而後者典範地同構於 k（跡映射）。特別地，維數相符：h^i(X, F) = h^{n-i}(X, F^對偶 tensor omega_X)。對光滑射影曲線（n = 1）上的線叢 L，這讀作 h^1(L) = h^0(omega_X tensor L^{-1}) = h^0(K - D)（除子記法），這恰是把黎曼-羅赫定理由「帶誤差的不等式」轉成乾淨等式的那一項：h^0(D) - h^0(K - D) = deg D + 1 - g，其中 g 是虧格、K 是典範除子。所以塞爾對偶算出了那原本神秘的 h^1。
塞爾對偶是奠基性的：它使曲線與曲面的上同調變得可駕馭，撐起曲線與曲面上的黎曼-羅赫定理與算術虧格的涵義，並經由對偶化複形推廣（格羅滕迪克-塞爾對偶）到奇異與相對的場景。誠實的告誡。其一，上述乾淨陳述需要前提：域上的光滑性與真性（射影）；對「奇異」或非科恩-麥考利概形，典範層必須代以對偶化複形，而簡單的層級配對成為一個導出範疇的陳述。其二，omega_X 是「本理論」的典範層，一個代數對象（最高次微分）；切勿把此對偶與拓樸的龐加萊對偶（它在 Z 上、看得見撓元）或與阿蒂亞-辛格指標定理（一個解析指標的陳述）混淆——塞爾對偶就是關於凝聚層上同調與典範叢的陳述，僅此而已。其三，配對是 F 與它的「扭轉」對偶之間的，而非 F 與自身；以 omega_X 作的典範扭轉是本質的，也正是該簇的幾何進場之處。
在虧格為 g 的光滑射影曲線 X 上，取除子 D 與 L = O(D)。塞爾對偶給出 h^1(O(D)) = h^0(omega_X(-D)) = h^0(K - D)。代入黎曼-羅赫 h^0(D) - h^1(D) = deg D + 1 - g，得到可用形式 h^0(D) - h^0(K - D) = deg D + 1 - g。對 D = 0，這給出 h^0(K) = g：虧格恰是整體全純微分空間的維數。
塞爾對偶把 h^1(D) 化為 h^0(K - D)，使曲線上的黎曼-羅赫成為精確等式。
乾淨的 omega_X 配對需要域上的光滑性與真性；在奇異概形上 omega_X 成為對偶化複形，陳述變為導出範疇的。又，這是配上典範叢的凝聚層對偶——不是拓樸的龐加萊對偶，也不是阿蒂亞-辛格指標定理。