多複變與哈托格斯現象（several complex variables and Hartogs's phenomenon）
/ HAR-tohgs /
當你研究多於一個複變數的解析函數——對每個變數分別解析的函數 f(z_1, z_2, ..., z_n)——時會發生什麼？你或許會以為理論就是「單變數複分析，重複 n 次」。並非如此。在兩個或更多變數中，確實有全新而驚人的事情發生，而其中第一個、也最著名的就是哈托格斯現象：在二維及以上，解析函數被迫越過小洞延拓，所以你不能像在平面上那樣，隨你喜歡地把一個孤立奇點擺在任何地方。
以下用平實的話陳述哈托格斯延拓定理。取 C^n（n 至少為 2）中一個區域，從它內部挖掉一個小的緊緻塊，並設 f 在剩下的部分解析。那麼 f 會自動越過那挖掉的塊解析地延續下去——奇點自我填補。在單變數中這大錯特錯：1/z 在平面去掉原點上解析，卻拒絕越過那點延拓。但在兩變數中，一個在某鄰域去掉一點上解析的函數必延拓；沒有孤立奇點，事實上零集與奇異集總是「大」的（複餘維數為一）。這迫使出一個核心的新概念：全純域，一個是某個真正無法越過其邊界延拓之解析函數的自然最大居所的區域。在單變數中每個區域都是全純域；在多複變中大多數區域都不是，而刻畫那些是全純域者（由列維問題的解，它們恰恰是擬凸域）是本學科的一條核心定理。
這是複分析的高維前沿，是一門活生生的、幾何的學科，而非腳註。它生長成複流形、層上同調、以及複代數與微分幾何的理論——許多現代數學與弦論的卡拉比-丘空間的語言。誠實的訊息是一種謙卑：你辛苦建立的單變數直覺——孤立的零點與極點、關於一點的羅朗展開、黎曼映射定理（它完全失效，因為 C^2 中的球與多圓盤並非雙全純等價）——並不能整批移植。多複變正是複分析變成幾何之處，也是許多問題仍未解之處。
在 C^2 中沒有函數扮演 1/z 在 C 中所扮演的角色：你無法在一個球上造出一個只在中心奇異的解析函數，因為哈托格斯迫使它越過那點延拓。二變數中自然的奇異集反而是整條複曲線，像 z_1 = 0 的集合（一個一複維的曲面），絕非單一孤立點。
在 C^2 及以上，解析函數會把孤立的洞填滿——沒有孤立奇點。
哈托格斯延拓需要維數至少為 2、且挖掉的緊緻塊其補集在其附近連通；它並非與單變數理論矛盾，而是一個真正新的維數效應，也正是為何黎曼映射定理與孤立奇點分類沒有直截了當的多複變類比。