解析延拓（analytic continuation）

假設你只在複平面的一小塊上認識某個解析函數——比方說一個冪級數 sum a_n (z - z_0)^n，只在單一圓盤內收斂。這個圓盤是它的第一個家，但未必是它唯一可能的家。解析延拓問的是：我們能否把這個函數擴展到更大的區域，使它在各處仍是解析的，並且在原本那一塊上與我們起初擁有的相符？當這樣的擴展存在時，新函數就稱為舊函數的解析延拓。最直觀的圖像是拼圖：每個圓盤是一片，我們設法在邊緣周圍拼上更多片，每片在重疊處與鄰居相符。

具體而言，一步是這樣做的。在原收斂圓盤內、靠近邊界處取一點 z_1。算出函數在 z_1 的值與所有導數，並在那裡形成新的泰勒級數 sum b_n (z - z_1)^n。這個新級數有它自己的收斂圓盤，而一個基本事實（收斂半徑伸到最近的奇點）常使這個圓盤有一部分跑到「原圓盤之外」。在透鏡形的重疊區上，兩個級數描述同一個函數——它們必然如此，因為在 z_1 共享所有導數——於是我們確實擴大了定義域。重複進行：在新邊界附近取一個新點重新展開，如此繼續。一個經典例子：幾何級數 sum z^n 只在 |z| < 1 內等於 1/(1 - z)，但公式 1/(1 - z) 在除 z = 1 外的整個平面都解析，所以它就是「那個」解析延拓，遠遠超出原圓盤仍然有效。

為何重要：它讓一個由某種受限配方所定義的函數——一個冪級數、一個積分、一個只在平面部分區域收斂的和——得以主張一個大得多的、典範的定義域。黎曼ζ函數就是這樣存活的：它的定義和 sum 1/n^s 只在 s 的實部大於 1 時收斂，但解析延拓把它擴展到除 s = 1 外的整個平面，而關於它零點的著名問題就住在被延拓出的區域裡。最深刻的回報（見後續詞條）是：這種擴展本質上是被「逼出來」的——延拓的方式幾乎沒有任何自由度。