收斂半徑觸及最近的奇點
這是本科目中最令人滿足的事實之一，是分析與幾何之間的橋樑。取一個解析函數，把它的泰勒級數繞著一點 z_0 展開。收斂半徑 R 不是某個任意的技術數字——它等於從 z_0 到函數失去解析性的最近點、即最近奇點的距離。級數盡其所能向外延伸，恰好在撞上麻煩時停下。
把它想成中心 z_0 向外長出一個圓盤。只要函數保持解析，圓盤就能持續擴張；一旦有奇點——極點、分支點、本性奇點——將落入內部，圓盤就必須停下。收斂圓盤的邊界圓周恰好通過最近的奇點（若有數個並列最近，則通過那些奇點）。一個方向很直觀：冪級數無法在函數爆掉的點之外表示該函數，故 R 不能超過到最近奇點的距離。另一個方向是泰勒定理的內容：只要 f 在一個圓盤上解析，泰勒級數就在整個圓盤上收斂，故 R 至少為那個距離。合起來，R「恰好」等於該距離。
這解釋了一個實變之謎。函數 1/(1 + x^2) 在數線上處處完美光滑，然而它的馬克勞林級數 1 - x^2 + x^4 - ... 只在 |x| < 1 收斂，沒有任何數線上的推理能揭示原因。複數觀點能：1/(1 + z^2) 在 z = +i 與 z = -i 有奇點，各距原點 1，而級數隔著平面感受到它們。所以每當一個實數泰勒級數有令人費解的小半徑時，解釋幾乎總是實軸之外一對看不見的複奇點。
把 1/(z - 3) 繞著 z_0 = 0 展開：唯一的奇點是 z = 3 處的極點，距離 3，故 R = 3，級數 1/(z - 3) = -(1/3) sum (z/3)^n 在 |z| < 3 收斂。改把同一函數繞著 z_0 = 5 展開，最近的（仍是唯一的）奇點距離為 |5 - 3| = 2，給出半徑 2。
移動中心，半徑隨之改變——它永遠追蹤新中心到同一奇點的距離。
此規則確定了半徑，卻對帶有奇點的邊界點本身的行為一無所言；而且「最近的奇點」必須包含實軸之外的複奇點，這正是重點——忽略它們，半徑就顯得無法解釋。