柯西-阿達馬公式
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給定一個冪級數，你究竟要怎麼求出它的收斂半徑？柯西-阿達馬公式就是那個普適的答案——一個明確的單一食譜，直接從係數讀出 R，毫無例外地對每個冪級數都管用。它是「快速衰減的係數觸及得遠、快速增長的係數觸及得近」這個鬆散直覺背後的精確工具。
公式是 1/R = limsup |a_n|^(1/n)，並約定 1/0 = 無窮、1/無窮 = 0。這裡的 limsup（上極限）是數列 |a_n|^(1/n) 反覆回到的最大值——之所以用它而非普通極限，是因為係數的第 n 次方根可能擺盪、未必收斂到單一個數，而上極限永遠存在。其推導正是把根值法用在 z 變動的級數上：第 n 項是 a_n (z - z_0)^n，其模的第 n 次方根為 |a_n|^(1/n) |z - z_0|，根值法要求它保持小於 1，即 |z - z_0| < 1 / limsup |a_n|^(1/n)。那個臨界值就是 R。當較簡單的極限 lim |a_(n+1)| / |a_n| 存在時，它給出相同的 R 且通常較易計算，但柯西-阿達馬公式才是「永遠」管用的那個。
它的重要性在於把收斂半徑變成一個精確、可計算、僅依賴係數的量——與對特定函數的任何巧思無關。結合 R 等於到最近奇點距離這個事實，柯西-阿達馬公式成為一座橋：解析資料（係數增長多快）與幾何資料（函數在哪裡崩壞）是同一個數的兩種讀法。它以發現它的柯西、以及強調並重新發現它的阿達馬命名。
對 sum 2^n z^n，係數為 a_n = 2^n，故對每個 n 有 |a_n|^(1/n) = 2，上極限為 2，得 R = 1/2。級數 sum (1 + (-1)^n) z^n 的係數在 0 與 2 之間擺盪；此處 |a_n|^(1/n) 不收斂，但其上極限趨於 1，給出 R = 1——這正是比值法失效而柯西-阿達馬公式仍能交差的情形。
當係數擺盪時，普通的比值極限可能不存在，但第 n 次方根的上極限永遠存在——這就是公式使用上極限的原因。
你必須用上極限、而非普通極限：對於係數有缺口或擺盪的完全良好級數，|a_n|^(1/n) 的普通極限可能不存在，而上極限永遠有定義且永遠給出正確的 R。