自相似擴散解（self-similar diffusion solution）

在兩個不同時刻拍下墨水在水中擴散的照片。若你把較晚、較寬的墨漬放大恰當的倍數，它看起來會和較早的一模一樣。擴散有個隱藏的對稱性：它在不同時刻的擴散分布是同一個形狀的縮放副本。自相似解就是利用這個對稱性，把 PDE 塌縮成一個 ODE 的解。

熱方程 u_t = k u_xx 有一個尺度對稱性：若 u(x,t) 是解，則對任何 a > 0，u(a x, a^2 t) 也是解——空間隨時間的平方根縮放，又是 x ~ sqrt(k t) 律。這提示我們去找只透過單一相似變數 eta = x / sqrt(4 k t) 來依賴 x 和 t 的解。猜測 u(x,t) = t^(-1/2) F(eta)（指數的選擇使總熱量守恆）把 PDE 變成 F(eta) 的常微分方程：F'' + 2 eta F' + 2 F = 0。解它，配上總熱量為一的條件，得到 F(eta) 正比於 e^(-eta^2)——把它組回去，你恰好還原出熱核，那條散開的高斯。所以基本解本身就是來自點源的自相似解。這個方法稱為因次分析或相似法，之所以有效，是因為裸熱方程沒有內建的長度或時間尺度，只有擴散率 k。

自相似解的威力遠超出熱方程。每當一個問題有尺度對稱性且無固定尺度，你常能這樣降維——兩變數的 PDE 變成一變數的 ODE——而所得的分布是一大類初始資料所收斂到的普適長時間形狀。對擴散而言，點源高斯正是那個普適吸引子：從任何局部的熱團出發，經過夠久的時間它看起來都像一條散開的高斯，已忘記其初始形狀的細節。提醒：自相似需要尺度對稱性未被破壞——有限區間、邊界條件裡的固定長度、或某特定尺度的源項都會破壞它，那時就不存在精確的相似解。