熱方程的柯西問題（Cauchy problem for the heat equation）

假設你知道一條無限長導線上某一瞬間各處的溫度，而且沒有端點要操心。你能預測之後所有時刻的溫度嗎？熱方程的柯西問題正是這個乾淨的問題：給定整條直線上的起始分布，求未來。

形式上，柯西問題是：對所有實數 x 和 t > 0 解 u_t = k u_xx，只受初始條件 u(x,0) = f(x) 約束。沒有邊界條件，因為沒有邊界——定義域是整條直線（或整個空間）。解由初始資料與熱核的卷積給出：u(x,t) = 對所有 y 的 integral of G(x - y, t) f(y) dy，其中 G 是高斯熱核。可以這樣讀：x 處的未來溫度是初始溫度的高斯加權平均，鄰近值權重重、遠處值權重輕。當 t 趨於零，這個平均塌回到 f，還原初始條件；當 t 變大，平均的窗口變寬，一切模糊地融在一起。

這是「沒有空間邊界的初值問題」的範本，它把熱方程的性格表現得淋漓盡致。卷積公式立刻顯示無限傳播速度（對任何 t > 0，f 的每一點都影響 u 的每一點）、平滑（G 無限平滑，所以 u 也是，無論 f 多粗糙）、以及總熱量守恆（u 的積分保持等於 f 的積分）。誠實的提醒：向前時間問題適定；逆向柯西問題不適定。而直線上的唯一性需要對 u 加一個溫和的成長限制——沒有它，季霍諾夫（Tychonoff）找到了初始資料為零卻不為零的怪異解，所以「合理」的成長是適定陳述的一部分。