無限傳播速度（infinite propagation speed）

在一根很長很冷的金屬棒一端點燃火柴。直覺上，遠端會冷上一陣子。但熱方程說了一件驚人的事：遠端的溫度會立刻上升——上升一個極其微小、無法察覺的量，但嚴格大於零，就在你點燃火柴後的那一瞬間。這就是無限傳播速度：在熱方程裡，任何地方的擾動會瞬間在各處被感受到。

原因烙印在熱核裡。柯西問題的解是 u(x,t) = integral of G(x - y, t) f(y) dy，高斯為 G(x,t) = (1/sqrt(4 pi k t)) e^(-x^2/(4 k t))。對任何 t > 0（無論多小）和任何 x（無論多遠），G(x - y, t) 都嚴格為正。所以若初始熱 f 在任何地方為正，積分在之後每一刻、各處都為正。沒有波前，沒有「熱目前到達的有限距離、之外恰為零」這回事。對照波動方程 u_tt = c^2 u_xx，它有有限傳播速度 c：訊號以確定速度傳播，尚未到達的區域完全沒被擾動。熱方程沒有這種速度上限。

這確實非物理——自然界沒有東西真的無限快——這是傅立葉定律假設「通量瞬間回應梯度」的代價。然而這個模型在實務上極好，因為衝在前面的熱量是指數級微小的：高斯尾巴 e^(-x^2/(4 k t)) 在大 x 處小得驚人，所以遠端的「瞬間」效應遠低於任何可測量的水準，直到經過一個合理的擴散時間 x^2/k。這一課關乎方程的「型」：拋物型方程有無限傳播速度，雙曲型沒有。若你需要真正的有限速度，就必須改模型（例如雙曲型的電報方程）。