施瓦茨-克里斯托費爾映射（Schwarz-Christoffel mapping）

黎曼映射定理保證有映到圓盤的共形映射卻不給你公式。施瓦茨-克里斯托費爾映射是輝煌的例外：當目標區域是「多邊形」時，共形映射有明確的積分公式。它是把抽象存在定理化為你真能計算與使用之物的主力，把上半平面或圓盤映到任何多邊形區域——三角形、矩形、L 形、割縫、帶階梯的通道。

這想法奠基於一個關於角的簡單幾何觀察。要把上半平面映到內角為 alpha_1 pi、alpha_2 pi、……、alpha_n pi 的多邊形，你在實軸上放置「前頂點」x_1 < x_2 < ... < x_n（它們映到多邊形的角），並對一個冪因子的乘積積分。公式為 f(z) = A + C 乘以由基點到 z 對 (w - x_k)^(alpha_k - 1) 之乘積（對 k 取積）的 dw 積分，其中 A 與 C 是固定位置、大小、定向的複常數。為何有效：每個因子 (w - x_k)^(alpha_k - 1) 在實軸外全純且非零，故 f 在半平面中共形；但當 w 在 x_k 處穿越實軸時，那一個因子的輻角跳變，把像方向恰好轉動外角的量 (alpha_k - 1) pi——故實線的像是一連串以指定角度相交的直線段，即多邊形的邊界。在前頂點之間 f' 的輻角為常數，故實軸的每一段映到一條直邊。

施瓦茨-克里斯托費爾在應用中不可或缺：翼型與通道流、多邊形電容器中的靜電場、有角區域中的熱流——一旦你有了明確的映射，全都化為半平面問題。誠實的提醒，因為公式確實微妙。第一，前頂點位置 x_k 並非自由：只有角度是給定的，但邊「長」以超越的方式依賴 x_k，故要找出產生你特定多邊形的前頂點需要數值求解一個方程組（「參數問題」或「擁擠」）。第二，除特殊多邊形外（例如矩形導致橢圓積分），積分通常無法以初等閉形式求得。第三，角指數必須滿足外角和為 2 pi 的相容條件（所有角的 (1 - alpha_k) 之和等於 2），反映邊界恰好轉過一整圈。