邊界對應（boundary correspondence）

黎曼映射定理在兩個區域的「內部」之間建立共形映射，本身對邊緣發生什麼隻字未提。但對應用而言——解一個邊界值問題、沿邊緣匹配資料——你極度希望映射能連續地延拓到邊界，使你定義域邊緣上的點乾淨地對應到單位圓上的點。邊界對應研究的是：內部的共形映射何時、以及多麼好地一路抵達邊界。

若邊界本身狂野，內部映射在邊界處可能表現很糟：對一個邊界是碎形、或有向內的尖刺與割縫的定義域，映射可能根本無法延拓成閉包上的單值連續函數（趨近同一邊界點的不同路徑可能落在不同的圓上點）。乾淨的正面結果是針對若爾當定義域。若爾當曲線是一條簡單閉曲線——不自交的迴路——而若爾當定義域是它所圍的區域。卡拉西奧多里定理恰好說：對若爾當定義域，黎曼映射延拓成閉定義域與閉圓盤之間的同胚：邊界曲線連續且雙射地對應到單位圓，保持點的循環順序。更光滑的邊界給出更光滑的對應：若邊界是光滑（或解析）曲線，則映射及其導數也光滑地延拓到邊界。

這正是共形映射在物理與工程中可用的原因。要在一個複雜的若爾當定義域上、以給定邊界值解拉普拉斯方程（熱、靜電、理想流），你透過邊界對應把邊界資料搬到單位圓，解簡單的圓盤問題（帕松積分），再把答案映回。誠實的提醒：同胚的結論需要邊界是若爾當曲線；對非若爾當邊界，必須訴諸更微妙的素端理論才能賦予「邊界點」意義。而連續延拓本身在角點處並不給出光滑或共形的延拓——在內角為 alpha pi 的邊界角點，映射行為像一個冪，其導數在那裡可能爆增或消失。