施瓦茨-克里斯托費爾公式（Schwarz-Christoffel formula）
/ shvarts KRIS-toh-fel /
莫比烏斯映射把圓盤與半平面重塑成別的圓盤與半平面，exp 與 log 處理楔形——但若你關心的區域是一個多邊形，一個帶直邊與尖角的形狀，譬如矩形、L 形的房間，或帶台階的渠道，那該怎麼辦？施瓦茨-克里斯托費爾公式正是把上半平面（或圓盤）共形地映滿任意多邊形內部的明確配方。它是多邊形區域的首選工具，而這類區域在靜電學與通過管道的流體流動中層出不窮。
公式背後的想法是去刻意製造那些角。共形映射以 arg f' 旋轉角度，而一個臨界點型因子 (z - x_k)^(冪) 在你經過點 x_k 時把邊界彎折一個受控的量。於是你在實軸上放置點 x_1 < x_2 < ... < x_n（這些是多邊形頂點的原像），每個頂點乘上一個彎折因子。映射以積分給出：f(z) = A + C * 由一基點到 z 對 k 取乘積 (w - x_k)^(alpha_k - 1) dw 的積分，其中 pi * alpha_k 是多邊形在第 k 個頂點的內角（故對凸角而言 alpha_k - 1 為負）。積分恰好累積出正確的旋轉量，沿著一條條直邊描出多邊形的邊界，並在每個頂點處帶一個規定角度的折角。常數 A 與 C 只是把所得的多邊形定位、旋轉與縮放。
這是黎曼映射定理對多邊形的一個真正建構性的實現——它確實把映射寫了下來，而一般定理只保證存在。有兩個誠實的困難使它並非免費的午餐。第一，該積分通常無法以初等形式求出（對矩形它產生橢圓積分），因此映射常以數值方法計算。第二，更微妙地，實軸上的點 x_k 並非可自由選取——必須求解它們，使所得的各邊長度與目標多邊形相符，而這個「參數問題」是一個難以手算的非線性方程組。儘管如此，施瓦茨-克里斯托費爾仍是多邊形定義域共形映射的標準途徑。
要把上半平面映到無限條帶 0 < Im w < pi（一個兩頂點在無窮遠的退化多邊形），公式塌縮為 f(z) = log z（差常數）：恰是展開扇形的 log 映射。那單一的彎折因子編碼了被送往無窮遠的條帶兩個直角「角」。
每個頂點貢獻一個因子 (z - x_k)^(alpha_k - 1)；積分描出多邊形的邊界。
難處在於「參數問題」：頂點原像的位置 x_k 不能自由選取，必須求解使各邊長度正確。你可固定其中三個（利用莫比烏斯的自由度），但其餘必須以數值方法求出。