施瓦茨空間（Schwartz space）

施瓦茨空間是一族比緊支撐試驗函數略大的探針，專門設計來讓傅立葉轉換感到自在。緊支撐探針對微分很好用，但傅立葉轉換往往把它的支撐攤開到無限遠，因此可能跑出原本那一族。施瓦茨空間的解決辦法，是允許函數延伸到無限遠，只要它衰減得比任何多項式增長都快。

確切地說，施瓦茨函數是一個無限平滑的函數，使得它本身及其每一階導數，當 x 趨於無限大時，都衰減得比 x 的任何負冪都快——也就是說，x^n 乘上任意一階導數，對每個冪次 n 都保持有界。像 exp(-x^2) 這樣的高斯函數是典型：平滑，且其尾端對每個 n 都比 1/x^n 衰減得快。決定性的特徵是它在傅立葉轉換下的平衡：施瓦茨函數的轉換仍是施瓦茨函數，且轉換把微分變成乘以變數、反之亦然，於是平滑與衰減互換位置，卻永不離開此空間。施瓦茨空間記作 S。

此空間之所以重要，是因為它是分布傅立葉轉換的正確起飛平台。能與施瓦茨探針連續配對的分布稱為緩增分布，而傅立葉轉換之所以能乾淨地延拓到它們身上，恰恰是因為 S 被保持不變。緊支撐試驗函數坐落於施瓦茨空間之中，所以每個以施瓦茨為基礎的論述也都適用於一般的試驗函數。