分布的傅立葉轉換（Fourier transform of a distribution）

傅立葉轉換把一個訊號改寫成一份頻率的配方，告訴你它含有多少各種純波。對一般的良好函數，這是一個熟悉的積分。但偏微分方程理論的許多對象——點源、常數、單一平面波——都不夠良好到讓那個積分收斂。分布的傅立葉轉換把轉換延拓到所有這類對象上，使頻率空間的方法變得完全嚴謹。

這個延拓用的是與分布微分相同的訣竅：把困難的運算挪到平滑探針上。施瓦茨空間在傅立葉轉換下被保持，所以對緩增分布 T，我們以規則 (T 的轉換, phi) = (T, phi 的轉換) 來定義它的轉換。探針 phi 是施瓦茨的，故它的轉換仍是施瓦茨的，右側的配對因而說得通——而這一條規則一舉對每個探針定義了 T 的轉換。兩個招牌結果直接掉出來：delta 的轉換是常數 1（空間中的一點等量地含有所有頻率），而常數 1 的轉換是 delta（對於一個從不變化的東西，只有單一頻率、即零）。微分變成乘以頻率變數，卷積變成一般的乘法。

這之所以重要，是因為它是偏微分方程轉換方法的乾淨歸宿。施加傅立葉轉換，把一個常係數偏微分方程化為頻率空間中的代數方程——導數變成乘法——你解出它再轉換回來。色散關係、算子的符號、頻率空間估計全都住在這裡，如今立足於嚴謹的基礎、而非形式上的。