試驗函數（test function）

試驗函數是我們用來盤問分布的那個平滑、溫和的探針。如果說分布是一台我們無法直接看見的量測儀器，那試驗函數就是我們精心塑形、推進儀器以讀出一個數的對象。為了值得信賴，這探針必須盡可能行為良好：無限平滑，且被侷限在一個有界區域內，使它在遠處永不惹麻煩。

確切地說，試驗函數是一個在某有界集外為零的無限可微函數——它處處平滑，且在某有限範圍之外恆等於零。所有這類函數的集合常記作 D，或 C-infinity-c（緊支撐的平滑函數）。正是這兩個性質讓分布得以運作。平滑意味著你能把探針想微分幾次就微分幾次，這正是分布如何繼承無限多階導數。緊支撐意味著每個配對積分都在一個有界區域上進行，故總會收斂，且分部積分中的邊界項會消失——這正是定義分布導數的訣竅。一個標準的具體例子是當 x 介於 -1 與 1 之間時等於 exp(-1/(1 - x^2))、在外部為零的隆起函數；它在端點處平滑，因為 exp(-1/(1 - x^2)) 的每一階導數在那裡都趨於零。

試驗函數之所以重要，是因為它們本身不攜帶任何訊息——它們只是我們照向分布的那束乾淨的光。整套理論的策略，就是把每個困難的運算（微分、傅立葉轉換、乘以平滑函數）從粗糙的分布身上挪到平滑的探針上，那裡這些運算總是合法的，然後再把結果讀回來。