重複特徵值情形（repeated eigenvalues case）
特徵值方法需要 n 個獨立解，但有時一個重複的特徵值很貪心，它佔了兩個名額，卻只提供一個特徵向量。你少了一個解，而乾淨的公式 e^(lambda t) v 補不上這個缺口。這正是需要一個真正全新想法的情形。
假設 lambda 是一個二重特徵值，但 A 對它只有一個特徵向量 v。一個解仍是 e^(lambda t) v。仿照二階重根情形（其中第二個解多了一個 t 因子），你試 x(t) = t e^(lambda t) v + e^(lambda t) w。代入 x' = A x，迫使 w 滿足一個條件：(A - lambda I) w = v。一個解出此式的向量 w 就是廣義特徵向量，它不是特徵向量，但對它施以 (A - lambda I) 會落到真正的特徵向量 v 上。第二個解於是是 e^(lambda t) (t v + w)，與 e^(lambda t) v 一起補全了基本解組。對更高的重數，你建一條更長的鏈 w_1、w_2、…，每個都被 (A - lambda I) 映到前一個上，而解會帶上 t 的更高次冪。
誠實的微妙之處：重複的特徵值並不總是出問題。如果它恰好提供了與其重數一樣多的獨立特徵向量（非虧損、可對角化的情形），就不需要 t 因子，你按相異情形那樣進行即可。廣義特徵向量這套機制，只有在特徵向量不夠時才需要，也就是所謂的虧損情形。
A = [2, 1; 0, 2] 有二重特徵值 2，卻只有一個特徵向量 v = (1, 0)。解 (A - 2I) w = v：[0,1;0,0] w = (1,0) 給出 w = (0, 1)。解：e^(2t)(1,0) 與 e^(2t)(t(1,0) + (0,1)) = e^(2t)(t, 1)。
缺失的解靠一個 t 因子，以及一個滿足 (A - lambda I) w = v 的廣義特徵向量 w 來補救。
重複的特徵值只有在其獨立特徵向量少於其重數時才是虧損的。單位矩陣的特徵值 1 雖然重複卻完全非虧損，它以每個向量為特徵向量，不需要任何 t 項。