正則條件分布（regular conditional distribution）

逐個事件地取條件，P(A given G) = E[1_A given G]，給了每個事件自己的條件機率——但每一個都只「幾乎必然」有定義，各自帶著自己的例外零測集。我們非常想固定一個結果 omega，讀出一整個貨真價實的機率分布 P( · given G)(omega)，正如物理直覺所要求的：「給定 G 告訴我的一切，這就是此刻 X 的實際分布」。正則條件分布正是把這件事做得彼此相容的方式。

形式上，X 給定 G 的正則條件分布是一個映射 mu(omega, B)，使得對每個固定的結果 omega，B -> mu(omega, B) 是一個誠實的機率測度（可數可加、總質量為 1）；而對每個固定的可測集 B，omega -> mu(omega, B) 是 P(X in B given G) 的一個版本。它要克服的困難是真實的：各個條件機率每一個都在差一個零測集的意義下含糊，而不可數多的這類含糊可能彼此衝突。一條定理（利用 X 的取值落在一個「良好」的空間裡——例如實數線這樣的標準波雷爾空間）證明這些版本可以被一致地選取，使得對幾乎每個 omega，你真的得到一個貨真價實的測度。一旦有了它，你就能把 E[ f(X) given G ](omega) 算成 f 對 mu(omega, ·) 的普通積分。

這是日常說法「X 給定 Y = y 的條件分布」底下、以及馬可夫轉移核之類建構背後的嚴格基礎。誠實的提醒有兩點。第一，存在性並非自動：在病態的空間上，正則條件分布可能不存在；標準波雷爾的假設正是拯救它的關鍵（而它涵蓋了實務上幾乎每一個空間）。第二，即使存在，它也只在 omega 的一個零測集之外唯一，所以它是一個代表元，而非典範物件——但這個代表元已足以拿來積分，而這就是理論所需要的全部。