Borel σ-代數（Borel sigma-algebra）
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一旦你接受並非實數線上的每個子集都能當事件，你就需要一個具體、標準的集合家族來工作——它要包含你真正在意的所有集合（區間、點，以及由它們建構出來的一切），卻又止步於病態的那些。實數線上的 Borel σ-代數正是這個家族。它是連續隨機變數的天然居所，而且幾乎任何你能用日常語言描述的集合，最後都會是 Borel 集。
它被定義為「包含所有開區間的最小 σ-代數」。所謂「包含某族集合的最小 σ-代數」意指：先把那些區間丟進去，再為了滿足 σ-代數的三條規則（取補與可數聯集）而被迫加入需要加入的東西，僅此而已。從 (a, b) 這樣的區間出發，並對這些運算封閉，你就生成出每個開集、每個閉集、每個單點、有理數集、半直線、區間的可數聯集，以及更多。你也可以從所有開集出發，或從所有半直線 (-infinity, x] 出發，得到同一個家族。Borel 集極為龐大，卻是全體子集的真子族：Vitali 集就不是 Borel 集。
為何恰選這個？因為它是「能讓每個連續函數（從而每個合理的隨機變數）都可測、同時仍排除不可測集」的最小家族。當你在實數線上以累積分布函數來定義一個機率時，你其實是在 Borel 集上定義一個測度。半直線 (-infinity, x] 是關鍵的建構磚：一個函數是 Borel 可測的，恰恰當每條這種半直線的原像都可測時成立——這正是為何分布可由 F(x) = P(X <= x) 完全釘定。
[0, 1] 中所有有理數所成的集合是 Borel 集：它是可數多個單點的聯集，而每個單點 {q} 是閉集、故為 Borel 集，因此聯集也是。它的勒貝格測度為 0，儘管有理數在這個區間中是稠密的。
由區間透過可數聯集與取補建構而成，Borel 集捕捉一切可描述的集合，同時排除奇異者。
Borel 集並非全部的可測集：完整的勒貝格 σ-代數要再大一點（它還包含每個零測度集的任意子集），但對機率論的絕大多數場合而言，Borel 集正是你所需要的。