布朗運動的反射原理（reflection principle for Brownian motion）

這裡有個看似困難的問題：布朗運動在 [0, t] 期間的任何時刻曾經升過某個水平 a 的機率是多少？追蹤一條狂烈扭動路徑的運行最大值看來毫無希望。反射原理是個漂亮的把戲，它把這個關於路徑歷史的問題，轉成一個你能用常態分布回答的簡單端點問題。其想法是一面鏡子：每條越過水平 a 的路徑都能與一個反射的雙胞胎配對，而數雙胞胎很容易。

把這個把戲一步步拆開。假設一條路徑在某個第一時刻 T（一個停時）觸及水平 a，而結束時在 a 之下。把 T 「之後」的那部分路徑沿著高度 a 的水平線反射——像鏡像一樣翻過去。由強馬可夫性，T 之後的後續是一個全新的對稱布朗運動，所以反射後的路徑與原路徑同樣可能。反射把一條結束於高度 x（在 a 之下）的原路徑，送成一個結束於 2a - x（在 a 之上）的雙胞胎。這個配對顯示：P([0,t] 上 B 的最大值超過 a，且 B(t) 在 a 之下) = P(B(t) 在 a 之上)。再加上那些結束於 a 之上的路徑（其最大值顯然在 a 之上），就得到乾淨的公式 P([0,t] 上 B 的最大值至少 a) = 2 P(B(t) 至少 a) = 2 P(Normal(0,t) 至少 a)。運行最大值曾超過 a 的機率，是端點本身落在 a 之上的機率的兩倍。

從這一個恆等式流出布朗運動的招牌分布。[0, t] 上的最大值與絕對值 |B(t)| 同分布（一個「折疊常態」）。路徑第一次觸及水平 a 的時間有已知的重尾密度（它的均值其實是無窮——路徑終究總會到達，但等待時間沒有有限平均）。這些觸及時間與最大值的結果是定價障礙選擇權與分析首達問題的家常便飯。此原理是精確的，但要注意它完全倚賴兩個要件：布朗增量的對稱性，以及在觸及時間處的強馬可夫重新出發。