隨機變數的函數與變換
最大值與最小值的分布（distribution of the maximum and minimum）
在整個樣本中，單一最大值與單一最小值是極值，它們有令人滿意的簡單分布。今年最熱的一天有多熱？一條鏈子最弱的一環是哪個？這些都是關於最大值與最小值的問題，而一個小小的獨立性技巧能直接給出它們的 cdf。
關鍵觀察：n 個值的最大值不超過 x，恰好等於「每一個」值都不超過 x。對獨立同分布、共同 cdf 為 F 的 X_1, ..., X_n，這表示 P(max at most x) = F(x)^n —— 直接相乘，因為這些事件獨立。最小值用鏡像的想法：最小值至少 x，恰好等於每個值都至少 x，所以 P(min at least x) = (1 - F(x))^n，得 F_min(x) = 1 - (1 - F(x))^n。對任一者微分即得密度。所以極值分布只需把原始 F 取冪即可得到 —— 不必積分。
隨樣本增大的行為很驚人。對最大值，F(x)^n 把機率推向上端：取更多樣本，最大值就往更高處漂並集中在支撐的頂端附近。這是極值理論的種子：經適當重新縮放後，樣本最大值收斂到僅有的三種極限形狀之一（Gumbel、Frechet、Weibull），這就是為何工程師用這些法則建模百年洪水與破紀錄的載重。
設 X_1, ..., X_n 為 (0, 1) 上的獨立均勻分布，其中 F(x) = x。則 P(max at most x) = x^n，故最大值的密度為 n x^(n-1) —— 大幅偏向 1。對 n = 10，最大值的期望值為 10/11，已非常接近範圍的頂端。
P(max at most x) = F(x)^n：隨樣本增大，最大值往頂端攀升。
這些冪次公式假設樣本獨立且同分布。若有相依（或分布不同），就不能單純相乘 —— 那些事件不再獨立。
又稱
另見