低秩模型與推薦系統

當你有一張巨大的使用者乘物品表，且大多數元素缺失（沒人給每部電影都評分）時，推薦系統背後的賭注是：這張表暗中是低秩的——少數隱藏因子（類型、基調、年代）解釋了大部分偏好。找到這些因子，就能填補空白。

把評分矩陣 R 建模為兩個瘦因子之積，R approx U V^T，其中列 u_i 是使用者 i 在一個小的 k 維隱空間中的口味，列 v_j 是物品 j 在同一空間中的畫像。預測評分是內積 <u_i, v_j>：當使用者口味與物品特質對齊時取高值。秩 k 就是隱因子的個數。

若 R 完全可觀測，最佳的秩 k 分解恰是截斷 SVD（Eckart-Young 定理），保留前 k 個奇異值。但 R 大多缺失，故改為只在已觀測元素上最小化平方誤差，再加正則項，用交替最小二乘或梯度下降求解。當真實矩陣低秩且觀測元素足夠分散時，這種矩陣補全才會成功。

為何重要：這是電影、商品與音樂協同過濾背後的數學，同樣的分解思想又出現在主題模型與嵌入中。警示：它繼承了冷啟動問題（新使用者或新物品沒有資料），補全保證假定不相干性與隨機取樣，而純低秩擬合可能放大流行度偏置。