線性常微分方程組
相異實特徵值情形（real distinct eigenvalues case）
這是特徵值方法最容易也最令人滿意的結果，一切都恰好順利運作的情形。矩陣 A 交給你 n 個相異的實特徵值，每個都有自己的特徵向量，通解就化作一個簡單的和，不費任何額外功夫。
假設 A 是 n×n，且它的特徵方程 det(A - lambda I) = 0 有 n 個相異的實根 lambda_1、…、lambda_n。相異的特徵值自動帶有獨立的特徵向量 v_1、…、v_n，所以每一對給出一個解 e^(lambda_i t) v_i，這 n 個解立刻構成一組基本解組。通解是 x(t) = c1 e^(lambda_1 t) v_1 + … + cn e^(lambda_n t) v_n。其幾何很乾淨：沿每個特徵向量方向，運動是一條純粹的直線解，若它的 lambda 為正則增長，為負則衰減；一個通解是這些直線運動的混合，長期由 lambda 最大的那一項主導。
因為每一項都是一個實指數乘以一個固定向量，這裡沒有振盪，解要麼跑向無窮、要麼坍縮到原點、要麼分裂（有些方向增長，有些衰減，給出一個鞍點）。這是教科書的起始情形，也是該先掌握的；複數與重複的情形，正是這幅乾淨圖景失效的兩種方式。
A = [3, 0; 0, -1] 有特徵值 3（特徵向量 (1,0)）與 -1（特徵向量 (0,1)）。通解 x(t) = c1 e^(3t) (1, 0) + c2 e^(-t) (0, 1)：第一個座標爆增，第二個衰減，這是一個鞍點。
相異實特徵值：一個由實指數構成的和，每一項沿著自己的特徵向量，任何地方都沒有旋轉。
相異的特徵值保證了獨立的特徵向量，所以這個情形永遠不需要廣義特徵向量。重複根的情形仍可能有一整套特徵向量，但這沒有保證，這正是相異性所避開的微妙之處。
又稱
另見