瑞立耗散函數

標準的拉格朗日力學假設力是能量守恆的，但真實系統有摩擦與阻力。瑞立的巧招是把所有與速度成正比的阻尼打包進一個額外的純量函數，讓你只需做一點小修改，就能繼續沿用尤拉-拉格朗日的機制。

對與速度成正比的阻尼力，你定義 F = (1/2) sum_ij c_ij q_dot_i q_dot_j，這是廣義速度的一個二次型。廣義耗散力於是為 Q_i = -partial F / partial q_dot_i，而運動方程變成 d/dt (partial L / partial q_dot_i) - partial L / partial q_i + partial F / partial q_dot_i = 0。在物理上，2F 等於機械能被耗散的瞬時速率，也就是損失於摩擦的功率。

誠實的但書是：這只對「與速度成線性關係」的力有效，例如黏滯的史托克斯阻力或線性阻尼。它捕捉不了乾摩擦（庫侖摩擦，大小固定、方向取速度的正負號），也捕捉不了與速度平方成正比的空氣阻力。它確實是一個外掛，落在純變分原理之外，因為耗散無法從一個「在一般意義下取駐值」的作用量中產生。