包立矩陣

包立矩陣是三個小小的二行二列數字方陣，記作 σx、σy、σz，由沃爾夫岡·包立引入以處理電子自旋。由於自旋 ½ 態只有向上、向下兩個基態，對它的任何操作都能寫成一個二乘二的矩陣，而這三個矩陣正是最基本的構件。沿三條空間軸的自旋分量，各自就是這些矩陣之一乘以約化普朗克常數的一半。

儘管其貌不揚，它們卻承載著自旋的全部詭異。它們彼此不對易，意思是施加它們的先後順序很要緊：先沿 x 測自旋、再沿 z 測，與反過來做，得到的統計結果並不相同。這種不對易，正是「三個自旋方向是不相容的可觀測量、不能同時都取確定值」這一斷言的精確數學表述。

包立矩陣的用途遠不止於自旋。它們連同單位矩陣，構成了任何二能級量子系統的完整工具箱，因此是量子位元與量子計算的日常語言。自旋的轉動、量子線路的各種閘、乃至光的偏振描述，都能用這同樣三個矩陣緊湊地寫出。