埃爾米特多項式

埃爾米特多項式是一族數學函數，每個整數對應一個，它們塑造著諧振子的波函數。當你用微積分為拋物線勢能求解薛丁格方程時，每一個被允許的態結果都是一個埃爾米特多項式乘以一個鐘形的高斯包絡。多項式提供起伏；高斯則讓整體在遠離中心處平滑地衰減為零。

依次往後的每個埃爾米特多項式都比前一個多一處起伏，這正是量子數為 n 的態恰有 n 個節點的緣由。最低的那個對應基態，僅僅是一個常數，給出簡單的高斯凸包。下一個添上單一的過零點，再下一個添上兩個，於是隨著能量沿階梯攀升，波函數也穩步變得越來越有結構。

這些多項式早在量子力學需要它們之前，就被數學家——尤其是夏爾·埃爾米特——研究過了。它們共享一種稱為正交性的優雅性質，這保證了振子的各態彼此獨立並構成一組完備基。同樣的函數在數學與物理中反覆出現，從機率論到雷射束的模式。