機率質量函數（probability mass function, pmf）

對離散隨機變數而言，機率質量函數回答最簡單的問題：每個值上坐落著多少機率？把它想成一張權重清單。如果 X 是擲兩次硬幣中正面的次數，pmf 告訴你 P(X = 0) = 1/4、P(X = 1) = 1/2、P(X = 2) = 1/4。想像一張長條圖，在每個可能的值上有一根尖刺，高度就是它的機率；pmf 正是那些高度。

寫成函數，pmf 是 p(x) = P(X = x)。它有兩個定義性質。第一，每個值都是真正的機率，所以 p(x) 介於 0 與 1 之間。第二，總質量恰好為 1：把 p(x) 對 x 所有可能的值加總會得到 1，因為試驗必定產生某個結果。要求 X 落在某個值集合裡的機率，你只要把那裡的質量加起來：P(X 在 A 中) = 對 A 中所有 x 把 p(x) 加總。不需要積分，因為機率坐落在孤立的點上。

pmf 是離散隨機變數的完整描述：知道它就等於知道關於 X 的一切機率資訊，包括後面會談到的期望值與變異數。常見的錯誤是寫出一個加總不為 1 的 pmf，或對一個變數永遠取不到的值指派正機率；這兩種都使它不是合法的 pmf。任何在所列支撐集之外的值，其機率就是 0。