蒙地卡羅模擬（Monte Carlo simulation）
/ MON-tay KAR-loh /
假設你想要一個無法用公式算出的數字——一個奇形怪狀區域的面積、一個難算積分的值、一個複雜系統失效的機率。蒙地卡羅模擬說：別再試著解它了；改成生成大量隨機的例子，然後就只是去數或去平均。它以那座賭城命名，把難解的數學變成你在電腦上跑的一場賭博式實驗，而大數法則保證你那些隨機樣本的平均會收斂到真正的答案。
核心動作是把你想要的量寫成一個期望，再用一個平均來估計那個期望。要求 E[g(X)]，就從 X 的分布抽 n 個獨立樣本 X_1, ..., X_n，並回報樣本平均 (1/n) 乘以 i=1 到 n 求和 g(X_i)。由大數法則，這會在 n 增長時收斂到 E[g(X)]。同樣的技巧可估計任何積分：要算 f 在 [a, b] 上的積分，注意它等於 (b - a) 乘以 E[f(U)]，其中 U 在 [a, b] 上均勻，所以在隨機點上平均 f 再縮放即可。要估計一個機率，就平均一個指示函數——落在某事件中的樣本比例，估計了該事件的機率。
它的招牌特徵是誤差。中央極限定理說蒙地卡羅誤差的標準差約為 sigma / sqrt(n)，其中 sigma 是 g(X) 的標準差。關鍵的後果：準確度以 1 比 sqrt(n) 的方式改善，所以要把誤差砍半，你需要「四倍」的樣本，而要多一位小數，你需要一百倍。這聽起來很慢，但這個速率「不」依賴 X 的維度——這正是為什麼蒙地卡羅在高維積分上輾壓格點法，因為格點所需的點數會以天文速度增長。誠實的提醒：你的樣本必須真的來自正確的分布，而一個悄悄帶偏差的亂數產生器，會悄悄地讓每一個答案都帶偏差。
用飛鏢估計 pi。把 n 個點均勻地丟進單位正方形，數有多少落在半徑為 1 的四分之一圓內（即 x^2 + y^2 <= 1 者）。落在內部的比例估計了四分之一圓的面積 pi/4，所以那個比例的 4 倍就估計了 pi。丟 10,000 次，你通常能得到約兩位數的 pi；要可靠地多得一位數，你大約需要一百萬次。
把答案寫成一個平均、抽樣、再平均；誤差以 1 比 sqrt(n) 的方式縮小。
蒙地卡羅誤差只以 1 比 sqrt(n) 的方式下降，所以四倍的樣本只換來一半的誤差；它真正的優勢是這個速率不理會維度，在高維度上勝過格點。