幾乎處處／幾乎必然（almost everywhere / almost surely）

在測度論機率中，你會不斷碰到「除了一個小到完全沒有份量的集合之外都成立」的陳述。幾乎處處（一般測度論用語）與幾乎必然（機率用語）正是這件事的精確說法：一個性質若「失效之點所成的集合測度為零」就稱幾乎處處成立；若「失效的事件機率為零」就稱幾乎必然成立。這些例外並非被禁止——它們只是對測度而言不可見。

形式上，一個陳述若 P(它失效的集合) = 0 就稱幾乎必然成立。關鍵的微妙之處在於：機率為零並不等於不可能。從 [0,1] 中取一個均勻隨機數：恰好得到 0.5 的機率為零，但 0.5 是個完全可能出現的結果——每一個特定值的機率都是零，儘管必定有某個值會出現。所以「幾乎必然」意指就一切機率目的而言「跟確定一樣好」，同時悄悄容許一個測度為零的例外集合存在。這個說法處處可見：強大數法則說移動平均「幾乎必然」收斂到均值；兩個隨機變數若僅在一個零事件上相異，就稱它們「幾乎必然」相等。

為何這如此重要？因為測度論天生就會忽略零測集，「幾乎處處相等」在本學科中就是「相同」的正確概念。Radon-Nikodym 導數僅在幾乎處處的意義下唯一；在一個測度為零的集合上更改密度，不會改變任何可觀測的事；積分與期望值偵測不到零測集上的差異。把「幾乎處處一致的兩個函數」當作同一個物件並非草率——這正是理論所尊重的等價關係；而忘記「機率為零仍容許真正的例外」則是初學者的經典錯誤。