Radon-Nikodym 導數與絕對連續（Radon-Nikodym derivative and absolute continuity）

機率密度函數描述一個分布的權重如何散布，但密度究竟從何而來、又在什麼時候才存在？Radon-Nikodym 定理徹底回答了這點。它說：只要一個測度在某種精確意義下與另一個相容，第一個就能寫成第二個乘上一個密度函數——而這個密度就是 Radon-Nikodym 導數。我們熟悉的 pdf，恰是某分布對勒貝格測度的密度。

這個相容條件就是絕對連續：測度 mu 對測度 nu 絕對連續，記為 mu << nu，意指凡是 nu 視為可忽略（nu = 0）的集合，mu 也視為可忽略（mu = 0）。換言之，mu 不能在 nu 看不見任何東西之處放上權重。Radon-Nikodym 定理於是保證存在一個非負函數 f，即導數 dmu/dnu，使得對每個可測集 A 都有 mu(A) = 在 A 上對 f 取 dnu 的積分。這個 f 是兩測度之間的「局部匯率」——它告訴你在每一點上，每單位 nu 對應多少單位 mu。當 nu 是勒貝格測度、mu 是 X 的分布時，f 正是 X 的機率密度；當兩者都是機率測度時，f 是把其中一個重新加權成另一個的概似比。

這一個定理統一並解釋了很多事。它說明了為何連續分布有密度而離散分布沒有（離散分布對勒貝格測度並非絕對連續——它把質量集中在長度為零的點上）。它支撐了條件期望、驅動貝氏更新的測度變換（後驗除以先驗），以及隨機微積分中的 Girsanov 定理。誠實的告誡：密度只在絕對連續之下才存在，而導數只在「差一個 nu-測度為零的集合」的意義下唯一——兩個合法版本可以在一個可忽略集合上不同。