正質量定理（positive mass theorem）

一個孤立的引力系統——一顆恆星、一個星系、一個獨自坐落於其餘為空的空間中的黑洞——有一個你能從其引力場在遠處如何衰減讀出的總質量。正質量定理說了一件聽起來顯然、卻確實難以證明的事：那個總質量永遠不可能為負，且唯有對完全空無、平直的時空它才為零。換言之，配上物理上合理的物質，引力無法使宇宙的重量少於零；你無法建造一個總能量為負的孤立系統。

精確地說，考慮一個漸近平直的黎曼 3-流形 (M, g)——一個時空時間切片的模型，在某大球之外看起來像平直 R^3，度量以受控速率趨近歐氏度量。ADM 質量 m 是從 g 在無窮處對平直性的主導修正萃取出的一個數，m = 在大球面上取極限的 (partial_j g_ij - partial_i g_jj) 的某特定通量積分。假設主導／非負能量條件，它在時間切片上（時間對稱情形）變成純量曲率非負 S >= 0。定理：m >= 0，且 m = 0 當且僅當 (M, g) 是平直歐氏 R^3。有兩個著名且完全不同的證明。Schoen 與 Yau（1979）用極小曲面：若質量為負，他們建構一個穩定極小曲面，並從穩定性不等式結合 S >= 0 導出矛盾。Witten（1981）用旋量與狄拉克算子：利希內羅維茨公式 D^2 = nabla* nabla + S/4 讓人解出一個調和旋量，其邊界行為把質量算成一個顯然非負的積分——當自旋結構可得時這是個出奇地短的論證。

為何它重要：質量的正性是「平直空間是廣義相對論的穩定基態」這個陳述，它支撐黎曼彭羅斯不等式的證明（質量界定視界的面積），並把廣義相對論、極小曲面理論與自旋幾何編織在一起。誠實的提醒。其一，兩個證明都以一個能量條件（切片上純量曲率非負）為條件；去掉它質量便可以為負——定理是關於物理上合理的物質，不是恆真句。其二，剛性情形是本質且微妙的：m = 0 迫使精確的平直性，而非僅僅「小」的幾何；此剛性使定理強大，也使兩個證明都微妙。其三，兩個證明的觸及範圍不同：Witten 的旋量證明需要自旋結構，且只在旋量行為良好之處乾淨地推廣到高維，而 Schoen-Yau 的極小曲面證明撞上與幾何測度論相同的餘維數 7 奇異性之牆，直到近期才被推廣到所有維度；不要不加此提醒就假設「那個」正質量定理用任一方法在每個維度都成立。