多項式混沌（polynomial chaos）

假設你模擬的輸出取決於幾個不確定的輸入，而你想知道輸出的整個分佈——它的平均、散佈，以及它超過某個危險門檻的機率。蒙地卡羅就只會抽樣幾千次再清點結果，付出緩慢的 1/sqrt(N) 代價。當這份依賴是光滑的時候，多項式混沌走一條更聰明的路：它建立一個精簡的「公式」——一個關於隨機輸入的多項式——來模仿輸出如何回應，然後幾乎免費地從那個公式上讀出統計量。這個名字是歷史性的，且有點誤導：它一點也不混沌；這裡的「混沌」（chaos）是個舊詞（來自 Norbert Wiener 一九三八年的工作），指的是一種隨機展開。

以下是平實步驟下的想法。把不確定的輸入寫成隨機變數（比方說單一個 xi，帶有已知分佈）。多項式混沌把輸出 Y 近似為一個短級數 Y 約等於 sum_{k=0}^{P} c_k Phi_k(xi)，其中 Phi_k 是與輸入分佈相匹配的特殊「正交」多項式——高斯輸入用埃爾米特多項式、均勻輸入用勒讓德多項式，依此類推（這種匹配正是「廣義」多項式混沌的想法）。巧妙之處在於，這些多項式相對於輸入的機率權重是正交的，所以一旦你找出係數 c_k，輸出的平均就單純是 c_0，它的變異數則是其他 c_k 平方的加權和——統計量是用手就能從係數裡掉出來的，不需要再取樣。你找係數的方式，要嘛是投影（計算積分，常用高斯求積），要嘛是回歸（把級數擬合到不多的若干次模擬執行上）。

當它行得通時，多項式混沌可能比蒙地卡羅便宜得驚人：少數幾次精挑細選的模擬執行，就能釘住一個蒙地卡羅要用幾千個樣本才能解析出來的分佈，因為對光滑的回應，這個級數收斂得很快（譜收斂）。它本質上是一個譜／代理方法，從「近似空間的函數」移植到「近似隨機輸入的函數」。誠實的限制很尖銳。第一，它需要輸出「光滑地」依賴於輸入——一個不連續（一次突然的相變、一個門檻）會毀掉多項式擬合，就像龍格現象毀掉高次插值一樣。第二，它受維度災難所苦：項數隨不確定輸入的個數快速增長，所以它對少數幾個不確定參數大放異彩，對非常多的輸入則輸給蒙地卡羅。在低到中等維度的光滑問題上用它；當回應粗糙或不確定輸入多如牛毛時，就去找蒙地卡羅。