由 SVD 得到極分解

一個複數可分解為模乘以相位，z = r e^{i theta}——即一個拉伸乘以一個旋轉。極分解正是這個思想的矩陣版：任何方陣都可分解為 A = Q P，其中 Q 正交（純旋轉/反射），P 對稱半正定（沿正交軸的純拉伸）。旋轉乘以拉伸，恰如一個複數。

SVD 立刻把兩個因子都交給你。從 A = U Sigma V^T 出發，在中間插入 V^T V = I：A = (U V^T)(V Sigma V^T)。第一塊 Q = U V^T 是正交矩陣之積，故正交；第二塊 P = V Sigma V^T 對稱且特徵值非負（即奇異值），故半正定。於是 A = QP 直接從 SVD 的因子中掉了出來。

它有兩種風味。右極形式 A = QP 先施加拉伸（在輸入坐標中）再旋轉；左極形式 A = P' Q，其中 P' = U Sigma U^T，先旋轉再在輸出坐標中拉伸。兩者中出現的是同一個 Q。當 A 可逆時，P 正定且 Q 唯一確定；那個 Q 還是離 A 最近的正交矩陣，這使極分解成為把一個輕微受損的旋轉重新正交化的標準工具。

這種解讀才是要點：每個線性映射，無論多麼雜亂，骨子裡都是沿某組正交軸的拉伸、隨後一個剛性旋轉。極分解把形變（P）與剛體運動（Q）分離開來，這正是它出現在連續介質力學、計算機圖形學，以及任何需要把形狀變化與朝向分開的地方的原因。