帕松積分公式（Poisson integral formula）
/ pwah-SON /
圓盤上的狄利克雷問題有一個完全明確的答案：把你想要的邊緣溫度交給我，一個積分就把每個內部點的溫度交回給你。無需求和無窮級數、無需逐步求解方程——帕松積分公式直接由邊界值重建調和的內部。它是整個位勢論中最乾淨的具體解。
精確地說，在單位圓盤上，若邊界值為繞圓的函數 g(theta)，則內部與之匹配的調和函數為 u(r, theta) = (1/2 pi) 乘上 phi 從 0 到 2 pi 的積分 P(r, theta - phi) g(phi) dphi，其中帕松核為 P(r, alpha) = (1 - r^2) / (1 - 2 r cos alpha + r^2)。此核是一個權重函數：當內部點靠近角度 phi 的邊界點時它大、遠時則小，故每個內部值都是邊界值的加權平均，鄰近的邊界點佔最大權重。你可立即讀出平均值性質——在中心 r = 0 處核為 1，故 u(0) 是 g 的純平均。在高維的球上有類似公式。
此公式既是主力也是證明機器。它直接確立了圓盤狄利克雷問題的存在性（積分明顯解了它），它表明無論 g 多粗糙解在內部都平滑，而當 r 趨近 1 時它恢復邊界資料。它也是複分析中柯西積分公式的調和對應物，而帕松核作為布朗運動在邊界上的命中分布，反覆出現於調和分析與機率論中。一個誠實的限制：這乾淨的公式是圓盤與球所特有——對一般區域，帕松核的角色由（通常未知的）格林函數及其法向導數扮演。
把圓盤的上半圓固定為 1、下半圓固定為 0。帕松積分算出一個調和函數，其在中心的值恰為 1/2（邊界資料的平均），其等位線為圓弧——一個你無需求解微分方程就能繪出的明確穩態溫度。
對帕松核作一次積分，就把邊界資料化為內部解。
這乾淨的封閉形式是圓盤與球所特有；別期待在任意區域上有它，在那裡你需要的是格林函數。此外，當 r 趨近邊界時核會集中成一個尖峰（趨向一個 δ 函數），這正是內部解如何重新接回它指定的邊界值。