狄利克雷問題（Dirichlet problem）
/ DEER-ish-lay or dee-ree-KLAY /
假設你能控制一塊板邊緣各處的溫度——把每個邊界點夾在你選定的值——並問當它安定後內部的溫度會是多少。這個問題就是狄利克雷問題：給定邊界值，求出內部與之匹配的調和函數。它是拉普拉斯方程與帕松方程最自然、研究最多的邊界值問題。
精確地說，在一個帶邊界的區域 D 上，拉普拉斯方程的狄利克雷問題要求一個函數 u，在 D 內部 Laplacian u = 0、在邊界上 u = g，g 為指定的邊界函數。帕松版本把內部方程換成 Laplacian u = f。此理論的兩大支柱是：解唯一——具相同邊界資料的兩個解，其差為調和且在邊界上為零，最大值原理便把它擠成處處為零——以及對合理的區域與資料，解存在。在圓盤上它由帕松積分公式明確給出；在矩形上由傅立葉級數給出；在一般區域上，存在性由狄利克雷原理（能量極小化）或由次調和函數的佩龍法保證。
存在性比唯一性微妙，這裡誠實很重要。對非常粗糙的區域，狄利克雷問題可能沒有連續地取到邊界值的解——勒貝格刺是經典反例，一個帶有極尖內凹尖點、使某邊界點成為不正則點的區域。哪些邊界點表現良好，由「障壁」的概念、以及更定量地由容量來刻畫。不過對光滑區域而言，狄利克雷問題是位勢論中適定、可解的基石。
把一個正方形的上邊加熱到 100 度、其餘三邊保持 0 度，求穩態的內部溫度。答案是一個關於 x 的傅立葉正弦級數，其係數遞減，每一項再乘上一個關於 y 的雙曲線分布，從冷邊向熱邊增長——一個完全明確、匹配指定邊界資料的調和解。
在整個邊界上指定值；唯一的調和內部隨之而來。
被指定的是邊界上的「值」，而非邊界通量——後者是諾伊曼問題。也別把它與初始值問題混淆：拉普拉斯方程是橢圓型的，故資料一次給在整個邊界上，而非給在某個你隨時間向前推進的初始片上。