龐加萊截面（Poincaré section）

看著一條軌跡在三維相空間中無盡纏繞，就像看一團打結的毛線——難以理清。龐加萊的巧計：舉起一張橫切流的平面，只記錄軌跡刺穿它的那些點。連續、難讀的流，坍縮成紙上稀疏的點陣，而這點陣一眼便揭示運動是週期、準週期，還是混沌。

龐加萊截面是置於相空間中、橫切於流的一個較低維曲面；每當軌跡（沿選定方向）穿越它，你就標記穿越點。把每個穿越點送到下一個穿越點的規則，就是龐加萊映射（或首次回歸映射），一個維度比原流少一的離散映射。這是精確的化約而非近似：連續流與其龐加萊映射共享相同的定性動態，因此流的週期軌道在映射中顯現為有限組不動點，準週期軌道顯現為填滿一條閉曲線的點，混沌軌道則顯現為勾勒奇異吸引子橫截面的碎形塵點。

龐加萊截面是非線性動力學中兼具視覺化與計算功能的主力工具：它把「三維連續流」的問題化為「二維映射」的問題，使倍週期、奇異吸引子的碎形結構，以及哈密頓系統的 KAM 環面全都直接可見。連續流的倍週期串接，正是這樣被當作映射的分岔來分析。實務告誡：所關注的軌跡必須真正橫向穿越截面；放置不當、被流掠過或錯過的曲面，會給出誤導或空白的圖像。