極限環（limit cycle）

心跳、神經元的放電、琴弓拉動小提琴弦時穩定的嗡鳴——這些振盪無論如何起始，都會安定到一個確定的節奏與振幅，受擾動後又回到同一節奏。極限環正是這種自我修正、自我維持振盪背後的相空間物件：一條孤立的閉環，鄰近軌跡向它盤旋而入（或而出）。

極限環是相空間中一條閉合（週期）軌跡，而且是孤立的——意即沒有其他閉軌可以任意靠近它。這種孤立性正是它與保守系統（如無摩擦單擺）閉軌的區別：後者形成連續而嵌套的一族，其振幅完全由初始條件決定。穩定（吸引型）的極限環把所有鄰近軌跡拉入，因此振盪的週期與振幅是系統的內稟性質，由方程式決定，而非由如何啟動決定。極限環需要非線性，在線性系統中不可能存在，且由一條定理可知，在一維流中也不可能存在。

原型是范德波（van der Pol）振盪器，d^2x/dt^2 - mu (1 - x^2) dx/dt + x = 0：在小振幅時注入能量、在大振幅時耗散能量的項相互平衡，給出唯一偏好的循環。你會在何處遇到它們：弛張振盪器、生理時鐘、Belousov-Zhabotinsky 反應，以及許多不穩定性的起始。當不動點在霍普夫分岔中失去穩定時，往往就誕生一個極限環。切勿把極限環與保守系統的中性穩定軌道混淆——後者並不孤立，受一擊後也不會恢復其振幅。