相空間
相空間是一個舞台，在這裡一個力學系統的完整狀態就是一個點。普通空間告訴你各部件在哪裡；位形空間把所有座標收攏成一個點；但兩者都無法告訴你「接下來會怎樣」，因為你還得知道每樣東西動得多快。相空間解決了這一點：它為每個自由度配上兩條軸——一個位置與其共軛動量——於是一個點就編碼了完整的瞬時狀態，從此未來便被決定。
對有 n 個自由度的系統，相空間是以 (q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n) 為座標的 2n 維空間。單一個點就是一組完整初始條件；哈密頓方程把該點化為唯一的軌跡，因此每一點恰有一條路徑通過，軌跡永不相交。所有軌跡的集合就是系統的相圖。相空間並不只是位形空間加上速度：動量 p 才是自然的（正則共軛）變數，它們的變換方式與速度不同，而住在這裡的幾何——辛結構 dq ^ dp——正是使動力學成為正則的東西。
這是力學與統計、與量子世界接軌的場景。統計力學把一個點換成一團在相空間中漂移的機率雲（系綜），而劉維爾定理說這團雲像不可壓縮流體般運動。量子力學把相空間粗粒化成每個自由度約 h 大小的格子，這正是計數狀態時 h^n 會出現的原因。用相空間、而非僅用位置來思考，是哈密頓表述帶來的最大概念轉變。
一維單擺有一個二維相空間（角度 theta、角動量 p_theta）。小幅振盪在穩定平衡點周圍畫出閉合橢圓；越過頂點旋轉的擺則沿開放的波狀曲線前進；分隔兩者的是一條特殊曲線——分界線（separatrix）——通過那個不穩定的倒立位置。
單擺的相圖：閉合軌道（振盪）、開放曲線（旋轉），以及兩者之間的分界線。
別把相空間與位形空間搞混。位形空間有 n 維（只有座標）；相空間有 2n 維（座標與動量）。速度空間（與拉格朗日量搭配使用）也是 2n 維，但其後一半是 q_dot 而非 p——這個區別在你一改變座標或加入磁場時就會顯現出來。