普拉托問題（Plateau's problem）

約瑟夫·普拉托（Joseph Plateau）花了多年把鐵絲框浸入肥皂水中，記錄所形成的膜。他的實驗所提出的數學問題敘述起來簡單得令人卸下心防：給定空間中一條閉曲線，是否存在一張張在其上、面積最小的曲面，它又長什麼樣子？這就是普拉托問題。肥皂膜每一次都在物理上回答了它；但要證明數學上的極小化者總是存在、且光滑，卻花了一個多世紀。

形式上：給定 R^3 中一條若爾當曲線 Gamma（或更一般的邊界），求一張以 Gamma 為邊界的曲面 Sigma，在所有這樣的張開曲面中使面積極小。當極小化者光滑時，它是極小曲面（H = 0）。最早的嚴格解由傑西·道格拉斯（Jesse Douglas，他因此獲得首屆菲爾茲獎之一）與蒂博爾·拉多（Tibor Rado）於約 1930 年獨立給出，採取圓盤型的進路：用從圓盤出發的映射來參數化候選曲面，並改去極小化狄利克雷能量而非直接面積——由共形不變性，狄利克雷能量的極小化者會自動面積極小化且共形參數化，從而繞開參數化的歧義。方法走三步：在某函數空間中極小化能量，藉緊緻性抽取一個極限，再證明極限是正則的。其後幾何測度論（費德勒、弗萊明、德喬治、阿姆格倫）用流（currents）與變分流形（varifolds）——無固定拓樸的廣義曲面——給出遠為一般的解，容許真實肥皂膜所展現的分歧、沿曲線相交的膜以及奇異性。

普拉托問題是幾何分析的奠基問題，正因其「顯然」的物理答案在每一步都在數學上深刻：存在性需要在正確函數空間中的緊緻性，正則性需要橢圓偏微分方程估計，而最具物理意義的版本（膜以 120 度角相交的三重接合處）需要幾何測度論的奇異結構理論。誠實的提醒：道格拉斯-拉多的解給出圓盤型曲面，它不必嵌入、可有分歧點；它本身不能捕捉莫比烏斯帶拓樸的膜或帶內部奇異性的膜。而唯一性一般失效——一根鐵絲能成為數張不同極小膜的邊界，真實肥皂膜選哪一張取決於你怎麼浸。「已解決」意味著存在性與正則性已被理解，而非答案唯一或總是光滑的嵌入曲面。